CIRCUITOS RL
Los circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que tiene autoinductancia, esto quiere circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor.decir que evita cambios instantáneos en la corriente. Siempre se desprecia la autoinductancia en el resto del circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor.
Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el inductor producirá igualmente una fuerza electromotriz en sentido contrario, lo cual hará que la corriente no aumente. A esto se le conoce como fuerza contraelectromotriz.
Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el inductor producirá igualmente una fuerza electromotriz en sentido contrario, lo cual hará que la corriente no aumente. A esto se le conoce como fuerza contraelectromotriz.
Esta fem está dada por: V = -L (inductancia) dI/dt
Debido a que la corriente aumentará con el tiempo, el cambio será positivo (dI/dt) y la tensión será negativa al haber una caída de la misma en el inductor.
Según kirchhoff: V = (IR) + [L (dI / dt)]
IR = Caída de voltaje a través de la resistencia.
Esta es una ecuación diferencial y se puede hacer la sustitución:
x = (V/R) – I es decir; dx = -dI
Sustituyendo en la ecuación: x + [(L/R)(dx/dt)] = 0
dx/x = - (R/L) dt
Integrando: ln (x/xo) = -(R/L) t
Despejando x: x = xo e –Rt / L
Debido a que xo = V/R
El tiempo es cero
Y corriente cero V/R – I = V/R e –Rt / L
I = (V/R) (1 - e –Rt / L)
El tiempo del circuito está representado por t = L/R
I = (V/R) (1 – e – 1/t)
Donde para un tiempo infinito, á I = V/R. Y se puede considerar entonces el cambio de la corriente en el tiempo como cero.
Para verificar la ecuación que implica a t y a I, se deriva una vez y se reemplaza en la inicial: dI/dt = V/L e – 1/t
Se sustituye: V = (IR) + [L (dI / dt)]
V = [ (V/R) (1 – e – 1/t)R + (L V/ L e – 1/t)]
V – V e – 1/t = V – V e – 1/t
CIRCUITOS RC
Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador.
Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una resistencia.
Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero.
La segunda regla de Kirchoff dice: V = (IR) - (q/C)
Donde q/C es la diferencia de potencial en el condensador.
En un tiempo igual a cero, la corriente será: I = V/R cuando el condensador no se ha cargado.
Cuando el condensador se ha cargado completamente, la
corriente es cero y la carga será igual a: Q = CV
La figura ilustra un ejemplo de un circuito resistor-capacitor, o circuito RC
Si cargamos al capacitor de la figura siguiente al poner el interruptor Sen la posición a. ¡ Que corriente se crea en el circuito cerrado resultante?, aplicando el principio de conservación de energía tenemos:
En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a través de cualquier sección transversal del circuito. El trabajo ( = Є dq) efectuado por la fem debe ser igual a la energнa interna ( i2 Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, mas el incremento dU en la cantidad de energía U (=q2/2C) que esta almacenada en el capacitor. La conservación de la energía da:Є dq = i2 Rdt + q2/2CЄ dq = i2 Rdt + q/c dq
Al dividir entre dt se tiene:Є dq / dt = i2 Rdt + q/c dq/dt
Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt positiva. Con i = dq/dt, esta ecuación se convierte en:
Є = i Rdt + q/cLa ecuación se deduce tambien del teorema del circuito cerrado, comodebe ser puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de conservación de energía . Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al pasar por la fuentge fem y una disminución al pasar por el resistor y el capacitor , o sea :Є -i R - q/c = 0
La cual es idéntica a la ecuación Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo cual da:
Є = R dq / dt + q/cPodemos reescribir esta ecuación así:
dq / q - Є C = - dt / RC
Si se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0, obtenemos: (despejando q),q= C Є ( 1 – e-t/RC)
Se puede comprobar que esta función q (t) es realmente una solución de la ecuaciónЄ = R dq / dt + q/c , sustituyendol en dicha ecuaciуn y viendo si reobtiene una identidad. Al derivar la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) con respecto al tiempo da:i = dq = Є e-t/RCdt REn las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC la cantidad RC tiene
dt R
las dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser adimensional y se llama constantecapacitiva de tiempo τ C del circuitoτ C = RC
Es el tiempio en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e-1 (~63%) de su valor final C Є , Para demostrar esto ponemos t = τ C = RC en la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) para obtener:q= C Є ( 1 – e-1) = 0.63 C Є
Al dividir entre dt se tiene:Є dq / dt = i2 Rdt + q/c dq/dt
Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt positiva. Con i = dq/dt, esta ecuación se convierte en:
Є = i Rdt + q/cLa ecuación se deduce tambien del teorema del circuito cerrado, comodebe ser puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de conservación de energía . Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al pasar por la fuentge fem y una disminución al pasar por el resistor y el capacitor , o sea :Є -i R - q/c = 0
La cual es idéntica a la ecuación Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo cual da:
Є = R dq / dt + q/cPodemos reescribir esta ecuación así:
dq / q - Є C = - dt / RC
Si se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0, obtenemos: (despejando q),q= C Є ( 1 – e-t/RC)
Se puede comprobar que esta función q (t) es realmente una solución de la ecuaciónЄ = R dq / dt + q/c , sustituyendol en dicha ecuaciуn y viendo si reobtiene una identidad. Al derivar la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) con respecto al tiempo da:i = dq = Є e-t/RCdt REn las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC la cantidad RC tiene
dt R
las dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser adimensional y se llama constantecapacitiva de tiempo τ C del circuitoτ C = RC
Es el tiempio en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e-1 (~63%) de su valor final C Є , Para demostrar esto ponemos t = τ C = RC en la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) para obtener:q= C Є ( 1 – e-1) = 0.63 C Є
Grafica para el circuito
Corriente i y carga del capacitor q. La corriente inicial es Io y la carga inicial en el capacitor es cero. La corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf.Grafica para los valores Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F
Esta figura en la parte a muestra que si un circuito se incluye una resistenciajunto con un capacitor que esta siendo cargado, el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite.
Tambien en la parte a como se indica por la diferencia de potencial Vc, la carga aumente con el tiempo durante el proceso de carga y Vc tienede la valor de la fem Є.
El tiempo se mide en el momento en que el interruptores conecta en a para t= 0.
En la parte b de la figura La diferencia de potencial en el resistor disminuye con el tiempo, tendiendo a 0 en tiempos posteriores poruqe la corriente cae a cero una vez que el capacitor esta totalmente cargado. Las curvas esta dibujadas para el caso Є=10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F. Los triangulos negros representan las constantes de tiempos sucesivas.
Tambien en la parte a como se indica por la diferencia de potencial Vc, la carga aumente con el tiempo durante el proceso de carga y Vc tienede la valor de la fem Є.
El tiempo se mide en el momento en que el interruptores conecta en a para t= 0.
En la parte b de la figura La diferencia de potencial en el resistor disminuye con el tiempo, tendiendo a 0 en tiempos posteriores poruqe la corriente cae a cero una vez que el capacitor esta totalmente cargado. Las curvas esta dibujadas para el caso Є=10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F. Los triangulos negros representan las constantes de tiempos sucesivas.
DESCARGA DE UN CONDENSADOR
Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es IR = q/C, la razón de cambio de carga en el condensador determinará la corriente en el circuito, por lo tanto, la ecuación que resulte de la relación entre el cambio de la cantidad de carga dependiendo del cambio en el tiempo y la corriente en el circuito, estará dada remplazando I = dq/dt en la ecuación de diferencia de
q = Q e-t/RC
Donde Q es la carga máxima
La corriente en función del tiempo entonces, resultará al derivar esta ecuación respecto al tiempo:
I = Q/(RC) e-t/RC
Se puede concluir entonces, que la corriente y la carga decaen de forma exponencial.
Conclusiones
Los capacitores tienen muchas aplicaciones que utilizan su capacidad de almacenar carga y energía
El acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar una situación en que las corrientes, voltajes y potencias si cambian con el tiempo.Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la carga lleva mas tiempo.
Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo.
Cuando se carga un capacitor ,la corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf y el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite.
Cuando se descarga un capacitor.la corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero.La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación q(t) = Qe-t/RC.
la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C entonce IR = q/c .
Cuando el interruptor está abierto, existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia.
El acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar una situación en que las corrientes, voltajes y potencias si cambian con el tiempo.Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la carga lleva mas tiempo.
Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo.
Cuando se carga un capacitor ,la corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf y el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite.
Cuando se descarga un capacitor.la corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero.La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación q(t) = Qe-t/RC.
la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C entonce IR = q/c .
Cuando el interruptor está abierto, existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia.
CIRCUITO RCL
Debemos considerar ahora aquellos circuitos RCL en los que se introducen fuentes de c– c que producen respuestas forzadas, las cuales no se desvanecen cuando el tiempo se hace infinito. La solución general se obtiene por el mismo procedimiento seguido para los circuitos RL y RC: la respuesta forzada se determina completamente, la respuesta natural se obtiene en una forma funcional adecuada que contiene el número apropiado de constantes arbitrarias, la repuesta completa se escribe como suma de las repuestas forzada y natural y por último se determina y aplican las condiciones iniciales a las respuesta completa para hallar los valores de las constantes.
En consecuencia, aunque básicamente la determinación de las condiciones para un circuito que contenga fuentes de c – c no es diferente para los circuitos. La repuesta completa de un sistema de segundo orden, consta de una repuesta forzada, que para una exitación de c – c es constante, vf (t) =vf
Y una repuesta natural: vn(t) = Aes1t + Bes 2t .
Por tanto,
v(f)= vf + Aes1t + Bes 2t
Supondremos ahora que ya ha sido determinadas s1, s2 y vf a partir del circuito, quedan por hallar A y B la última ecuación muestra la interdependencia funcional de A, B, v y t , y la sustitución del valor conocidode v para t = 0+ proporciona por tanto, una , nosecuación que relacione Ay B. Es necesario otra relación entre A y B y ésta se obtiene normalmente tomando la derivada de la repuesta e introduciendo en ella el valor conocido de dv/dt para t = 0+.
dv/dt = 0 + s1Aes1t + s2Bes 2t
Resta determinar los valores de v y dv/ dt para t = 0+, como ic = C dvc / dt,debemos reconocer la relación entre valor inicial de dv/dt y el valor inicial de la corriente de algún condensador.
El objetivo es hallar el valor de cada una de las corrientes y tensiones tanto t=0- como para t=0+; conociendo estas cantidades los valores la derivadas requeridas pueden calcular fácilmente.
La corriente constante que pasa por la bobina exige una tensión cero a través de ella, vL(0 -) = 0.
Y una tensión constante a través del condensador exige que pase por el una corriente
cero, iC(0 -) =0.
CIRCUITO RCL EN PARALELO SIN FUENTES
En consecuencia basta decir que la compresión del comportamiento natural del circuito RCL en paralelo es de fundamental importancia para estudios de redes de comunicación y diseño de filtros.
Si una bobina física se conecta en paralelo con un condensador y la bobina tiene asociada con ella a la resistencia óhmica no nula, puede mostrarse que la red resultante tiene un modelo de circuito equivalente, tal como se muestra en la figura.
Las perdidas de energía en la bobina física se tiene en cuenta mediante la presencia de la resistencia ideal, cuyo valor R depende de (pero, no es igual a) la resistencia óhmica de la bobina.
Se puede escribir la ecuación con el circuito de referencia :
t
v + 1 ∫ v dt – i(t0) + C dv = 0
R L to dt
Obsérvese que el signo menos es consecuencia de la dirección que se a supuesto para i .
v = Aest permitiendo que A y s sean números complejos si es necesario.
Si cualquiera de los dos primeros factores se iguala a cero, entonces v(t) = 0. Sumando las ecuaciones diferenciales y agrupando términos semejantes:
C d2 (v1 + v2) + 1 d(v1 + v2) + 1 (v1 + v2) = 0
dt2 R dt L
Se ve que la suma de las dos soluciones también es una solución, así tenemos la forma de la repuesta natural.
v = A1es1 t + A2es2t
En donde s1 y s2 son dos constantes arbitraria, ya que lo exponentes s1t y s2t deben ser adimensionales .
Las unidades de este tipo se llaman frecuencias, representemos 1/ √ LC por ω0 (omega).
ω0 = 1/ √ LC
Llamaremos 1/ 2RC frecuencia neperina o coeficiente de amortiguamiento exponencial y lo representamos por α (alfa).
α = 1/ 2RC
esta última expresión descriptiva se utiliza porque α es una medida de la rapidez con que la repuesta natural decae o se amortigua hasta encontrar un valor final permanente (cero generalmente).Por último s, s1 y s2, reciben el nombre de frecuencias complejas, la repuesta natural del circuito RCL en paralelo es:
v(t) = A1es1 t + A2es2t
CIRCUITO RCL EN PARALELO SUPERAMORTIGUADO
Es evidente que si LC > 4R2 C 2, α será mayor que ω0 y α2 será mayor que ω02. En este caso, el radical que nos interesa será real y tanto s1 como s2serán reales . Además las siguientes desigualdades,
√ α2 - ω02 < α
(-α -√ α2 - ω02 ) < (-α + √ α2 - ω02 ) < 0
se puede aplicar para mostrar que tanto s1 como s2 son números reales negativos. Por tanto la respuesta v(t) puede expresarse como la suma de dos términos exponenciales decrecientes acercándose los dos a cero cuando el tiempo aumenta sin límite. En realidad como el valor absoluto de s2 es mayor que el de s1, el término que contiene a s2 tiene un decrecimiento más rápido y para valores grandes del tiempo, podemos escribir la expresión límite.
V(t) → A1es1 t → 0 cuando t → ∞
AMORTIGUAMIENTO CRITICO
El caso superamortiguado está caracterizado por :
α > ω0
o
LC > 4R2 C 2,
Y conduce a valores reales negativos para s1 y s2 y una respuesta expresada como la suma algébrica de dos exponenciales negativas. Ajustemos ahora los valores de los elementos de modo que α y ω0 sean iguales, es éste caso muy especial que se denomina amortiguamiento crítico. Así pues el amortiguamiento se consigue cuando:
α = ω0
o
LC = 4R2 C 2
o
L = 4R2 C
Para el amortiguamiento, la ecuación se escribiría de la siguiente manera :
v(t) = A1es1 t + A2es2t
debe observarse que la solución puede expresarse por la suma de dos términos, de los cuales una es la exponencial negativa ya conocida, pero el segundo es t veces una exponencial negativa.
CIRCUITO RCL EN PARALELO SUBAMORTIGUADO
El coeficiente de amortiguamiento α disminuye mientras que ω0 permanece constante, α2 se hace menor que ω2 y el radicando que aparece en las expresiones de s1 y s2 se vuelve negativo. Utilizando números complejos, la respuesta exponencial se convierte en una respuesta sinusoidal; esta respuesta se compone enteramente de cantidades reales, siendo necesarias las cantidades complejas solo para la deducción.
La ecuación se puede escribir como:
v(t) = e-αt (A1ejwd t + A2 -jwd)
escribiendo de la otra forma se obtiene:
v = e-αt (B1cosw dt + B2senwdt)
Si estamos considerando el caso subamortiguado, hemos dejado aun lado los números complejos. Esto es cierto, ya que como α, ωd y t son cantidades reales, también v(t) a de ser una cantidad real y por tanto B1 y B2 son cantidades reales.
CIURCUITO RCL EN SERIE SIN FUENTES
Queremos obtener la repuesta natural de un circuito modelo compuesto por una resistencia física concentrada por el circuito LC en serie o en uno RCL, o bien las perdidas óhmicas y las del núcleo ferromagnético de la bobina, o puede ser utilizada para representar todos estos y otros dispositivos que absorban energía . En caso especial el valor de la resistencia real puede incluso a ser exactamente igual que la resistencia medida para el alambrecon el que se ha construido la bobina física. El circuito RCL es el dual del circuito RCL en paralelo.
Las condiciones iniciales para la tensión del condensador y la corriente de la bobina son equivalentes a las condicione iniciales para la corriente de la bobina y la tensión del condensador; la respuesta de la tensión se convierte en una repuesta de corriente.
Utilizando el lenguaje dual y obtener , de este modo , una descripción completa del circuito RCL en serie, la ecuación serie :
i(t) = A1es1 t + A2es2t
La forma de la respuesta críticamente amortiguada es:
i(t) = A1es1 t + A2es2t
y el caso subamortiguadores puede escribirse como
i(t) = e-αt (B1cosw dt + B2senwdt)
es evidente que si trabajamos en términos de lo parámetros α, ω0, y ωd , las formas matemáticas de las repuestas para situaciones duales son idénticas. Un incremento de α en cualquiera de los circuitos en serie o en paralelo, manteniendo ω0 constante, conduce a una respuesta superamortiguada.
La única precaución que hay que tener es en el cálculo de α, que es 1/2RC para el circuito en paralelo y R/2L para el circuito en serie; así pues aumenta α aumentando la resistencia en serie o disminuye la resistencia en paralelo.
EJEMPLO
El circuito RCL es aplicado en diversas instalaciones compuestas por RC o RL.
La compresión del comportamiento natural del circuito RCL en paralelo es de fundamental importancia paraestudios de redes de comunicación y diseño de filtros
CONCLUSIONES
Se visualizó la configuración general para los circuitos RC, RL y RLC.
Se establecieron las ecuaciones para carga y descarga de un condensador en los circuitos RC.
Se mostró la ecuación general para la corriente en un circuito RL, así como el tiempo dado por la relación entre resistencia e inductancia.
Se entendieron las propiedades de los circuitos RLC.
Se expuso las ecuaciones generales para el análisis de circuitos RLC.
OBSERVACIONES
Un circuito tiene una función específica como se ha estudiado, pero una idea de mejoría puede ser el generalizar cada circuito y poder así, obtener funciones combinadas de todos los circuitos, es decir, que al generalizarcada circuito en sus diagramas no serían tan complejos y diversos, haciendo más fácil su utilización.
RECOMENDACIONES
El estudio de circuitos lleva en si un conceptos básicos se deben ser analizados para poder entender que es un circuito RCL
Se debe distinguir que es un elemento pasivo y uno activo, saber donde están ubicados en el circuito
Para un estudio de redes el RCL se convierte en un tema importante para su diseño y utilización
No hay comentarios.:
Publicar un comentario